4  Messgrößen und Messgeräte

4.1 Messgrößen

• Absolute Schwerebeschleunigung \(\mathbf{g}\)
• Relative Unterschiede \(\Delta g\): vorherrschende Messgröße
• Vertikalgradient
• Horizontalgradient: selten gemessen

4.1.1 Absolute Schwerebeschleunigung \(g_{abs}\)

• Fundamentale Bezugsgröße
• liefert Punkte für Internationales Schwerestandardnetz WGS sowie Landesnetze
• Lange Messzeiten erforderlich

HinweisBeispiel

Bestimmung von \({g}_{abs}\) in Freiberg

Standort: Betonblock Gravimetrielabor

\[ \begin{align} g_{abs} & = 981043.767\ \text{mGal} \\ h & = 395.183\ \text{m} \\ \varphi & = 50 ^\circ \,55' \,30.3''\ \text{N} \\ \theta & = 13 ^\circ \,19' \,48.1''\ \text{E} \end{align} \]

Vergleich Potsdam: \(g_{abs} = 981260\ \text{mGal}\), Differenz von \(116\ \text{mGal}\) durch andere Lage und Höhe verursacht

4.1.1.1 Fallzeitmessungen

Messung der Fallzeit \(t\) mittels Fall- und Wurfgeräten (Galiei, 1590)

\[ \begin{align} t & = \sqrt{\frac{2 h}{g}} \\ g & = \frac{2 h}{t^2} \end{align} \]

Zur Bestimmung von \(g\) ist die simultane Erfassung von zwei Messgrößen (\(h, t\)) mit hoher Genauigkeit erforderlich.

Fehlerfortpflanzung:

\[ \Delta t = \Bigg| \frac{ \partial g }{ \partial t } \Bigg|^{-1} \Delta g = \frac{t}{2 g} \Delta g \]

\[ \Delta h = \Bigg| \frac{ \partial g }{ \partial h } \Bigg|^{-1} \Delta g = \frac{t^2}{2} \Delta g \]

Mit \(g=981\) Gal, \(h=10\) m und \(t=1.43\) s schätzen wir bei einer Genauigkeitsforderung von 1 mGal ab:

\[ \begin{align} \Delta t & = \frac{1.43\ \text{s}}{2 \cdot 981 \cdot 10^{3}\ \text{mGal}} \, 1\ \text{mGal} & = 0.73\ \mu\text{s} \\ \Delta h & = \frac{1.43^2\ \text{s}^2}{2}\, 10^{-5} \frac{\text{m}}{\text{s}^2} & = 10\ \mu \text{m} \end{align} \]

4.1.1.2 Schwingungszeitmessungen

Messung der Schwingzeit \(T\) eines Halbsekundenpendels von maximaler Auslenkung in die Ruhelage (daher fehlt Faktor \(2\)):

\[ \begin{align} T & = \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}} \\ g & = \frac{ \pi^2 \ell}{T^2} \end{align} \]

Genauigkeitsforderung 1 mGal, \(T=0.5\) s, \(\ell=1\) m.

Fehlerfortpflanzung:

\[ \begin{align} \Delta T & = \Bigg| \frac{ \partial g }{ \partial T } \Bigg|^{-1} \Delta g = \frac{T}{2 g} \Delta g \\ \Delta \ell & = \Bigg| \frac{ \partial g }{ \partial \ell } \Bigg|^{-1} \Delta g = \frac{T^2}{\pi^2} \Delta g \end{align} \]

\[ \begin{align} \Delta T & = \frac{0.5\ \text{s}}{2 \cdot 981 \cdot 10^{3}\ \text{mGal}} \, 1\ \text{mGal} & = 0.25\ \mu\text{s} \\ \Delta \ell & = \frac{0.5^2\ \text{s}^2}{\pi^2}\, 10^{-5} \frac{\text{m}}{\text{s}^2} & = 0.25\ \mu \text{m} \end{align} \]

4.1.2 Relative Schwerebeschleunigung \(\Delta g\)

Messung von Schweredifferenzen \(\Delta g\) gegen einen Bezugspunkt mit bekanntem \(g\)

oder

willkürliche Zuordnung eines Wertes für einen ausgewählten Basispunkt im Messgebiert mit \(g=0\).

Es tritt nur eine Messgröße auf: Längenänderung \(\Delta \ell\) einer Feder

Vorteile:

• Kurze Messzeiten
• Leichte Bedienbarkeit, gerige Abmessungen
• Hohe Genauigkeit
• Universeller Einsatz

4.2 Messgeräte zur Bestimmung von \(\Delta g\)

Gravimeter unterscheiden wir nach dem physikalischen Messprinzip in

• Statische Gravimeter: Feder-Masse-System
• Dynamische Gravimeter: Saitengravimeter
• Supraleitfähigkeitsgravimeter

4.3 Statische Gravimeter

• Lineare Systeme: Autograv CG-5 (Scintrex, Kanada)
• Nichtlineare astasierte Systeme: Sodin, Worden, Sharpre, LaCoste-Romberg

Bauarten:

• Vertikal-Schraubenfederwaage: Autograv CG-5
• Horizontal-Torsionsfederwaage: Sodin

4.3.1 Vertikal-Schraubenfederwaage

Gleichgewichtsbedingung:

\[ \begin{align} F_{SF} & = F_{g} \\ m g & = k \ell \end{align} \]

Linearität: Kleine Änderung von \(g\) führt zu kleiner Änderung von \(\ell\):

\[ \Delta g = \frac{k}{m} \Delta \ell \]

Genauigkeitsforderung: Federlänge \(\ell=0.1\) m, Messgenauigkeit \(\Delta g = 0.01\) mGal.

\[ \Delta \ell = \Bigg| \frac{ \partial g }{ \partial \ell } \Bigg|^{-1} \Delta g = \frac{\ell}{g} \Delta g \]

\[ \Delta \ell = \frac{0.1\ \text{m}}{981 \cdot 10^3\ \text{mGal}} \, 10^{-2}\ \text{mGal} \approx 10^{-9}\ \text{m} \]

4.3.2 Horizontal-Torsionsfederwaage

1–Torsionsfeder mit Torsionskonstante \(\tau\), 2–Waagebalken, 3–Messfeder mit Federkonstante \(k\), 4–Messspindel, 5–Messskala, DP–Drehpunkt

m–Probemasse, \(l\)–Länge der Messfeder, \(b\)–Abstand DP-Messfeder, \(\varphi\)–Auslenkung Waagebalken, \(\epsilon\)–Vorspannwinkel der Torsionsfeder

Schwereänderung \(\Delta g\):

• Hauptfeder wird auf Torsion beansprucht
• Winkeländerung \(\Delta \varphi\) wird durch Messfeder kompensiert
• Waagebalken wird über Messspindel in die ursprüngliche Lage \(\varphi=0\) zurückgeführt

Gleichgwichtsbedingung (Drehmomentengleichung) für \(\varphi=0\):

\[ m g a = \tau \epsilon + b k \ell \]

Benötigt werdem zwei Messpunkte: \(g_{1}(x_{1})\) und \(g_{2}(x_{2})\)

\[ m g_{1} a = \tau \epsilon + b k \ell_{1} \qquad m g_{2} a = \tau \epsilon + b k \ell_{2} \]

Differenz:

\[ g_{2} - g_{1} = \Delta g = \frac{k b}{m a}(\ell_{2} - \ell_{1}) \]

Federhub \((\ell_{2}-\ell_{1})\) wird an der Messspindel in Zählereinheiten \(\Delta \text{ZE}\) abgelesen.

Der Skalenwert \[ S = \frac{k b}{m a} \]

enthält geräteinterne Konstanten und wird über eine Kalibrierung des Gravimeters bestimmt.

Die relative Schwerebeschleunigung \(\Delta g\) wird über die allgemeine Gravimetergleichung \[ \Delta g = \text{S} \Delta \text{ZE} \]

bestimmt.

Für das Autograv CG-5 gilt \(S=1\), also erfolgt die Anzeige an der Apparatur direkt in mGal.

4.3.3 Astasierte nichtlineare Systeme

Gleichgewichtsbedingung für \(\varphi \ne 0\): \[ m g a \sin\varphi = \tau (\epsilon+\varphi) + b k \ell \]

\[ \frac{ \partial g }{ \partial \varphi } = \frac{\tau}{m a} \frac{\sin\varphi - (\epsilon + \varphi)\cos\varphi}{\sin^2\varphi} \]

keine Linearität zwischen \(\partial g\) und \(\partial \varphi\).

Höhere Empfindlichkeit bei verringerter Stabilität des Messystems, labile Gleichgewichtslage, lange Schwingzeit.

4.4 Das Gravimeter Autograv CG-5

• selbstregistrierend
• Messbereich 8000 mGal
• Empfindlichkeit 0.001 mGal
• Messwertanzeige 4615.312 mGal
• elektronische Neigungsmessung (Genauigkeit in Bogensekunden)
• geringe Drift

(Scintrex Ltd.)

Messprinzip: Lineares System, keine Astasierung

• Eine elektrostatische Rückstellkraft hält die Testmasse in ihrer Ruhelage
• Eine Kapazitätssonde misst die Position der Testmasse
• Ein Feedback-System regelt die Spannung so, dass die Masse in Position bleibt
• Die zur Stabilisierung benötigte Spannung ist direkt proportional zur Änderung von \(g\)

4.5 Fehlereinflüsse

Zeitabhängige Fehler bewirken Gang des Gravimeters und erfordern Korrekturen

• Elastisches Verhalten der Quarzfeder (Hysterese, Langzeitdrift)
• Mechanische Störungen (Transport)
• Temperatur- und Luftdruckeffekte
• Gezeiten

Zeitunabhängige Effekte erfordern Kalibrierung oder Filterung

• Skalenwertfehler: Neukalibrierung
• Mikroseimische Unruhe: Filter

4.5.1 Driftkorrektur

Statische Gravimeter zeigen lineare Langzeitdrift durch unvermeidbare irreversible Veränderungen des elastischen Verhaltens des Quarzsensor-Systems.

Daraus resultieren eine begrenzte Lebensdauer des Gravimeters und ggf. kostspielige Serviceleistungen des Geräteherstellers.

Diese Änderungen erfasst man durch Aufzeichnung von Zeitreihen im Labor.

Daraus ermittelt man die Driftkorrektur:

\[ \Delta g_{Dr}(t) = (t - t_{s}) DR \]

DR–Driftkonstante in mGal/d, \(t_{s}\)–Messbeginn, \(t\)–Zeitpunkt der Ablesung

Bestimmung von DR aus kontinuierlicher Messung über einen Zeitraum von \(>24\) h.