Die Erde umkreist die Sonne in einer annähernd kreisförmigen Umlaufbahn mit Radius 1 AU = \(1.495978707 \times 10^{8}\) km.
Die Sonne besitzt eine Strahlungsleistung (“Leuchtkraft”) von \(3.828 \times 10^{26}\) W.
Die scheinbare Größe der Erde aus der Sicht der Sonne beträgt ca. 18 Bogensekunden.
Der Raumwinkel \(\Omega\), unter dem die Erde erscheint, beträgt etwa \(5.7\times 10^{-9}\) sr, damit emittiert die Sonne insgesamt etwa das \(2.2\times 10^9\)-fache der Strahlung, die lediglich auf die Fläche der Erde entfällt.
usingMarkdownR_E =6.3781e6;AU =1.495978707e11;alpha =2*atan(R_E / AU);bs = alpha *180/pi*3600;Omega =2*pi* (1-cos(alpha /2));Markdown.parse("""Die scheinbare Größe beträgt $(round(bs, digits=2)) Bogensekunden.Der Raumwinkel beträgt $(round(Omega, sigdigits=2)) sr.Die Sonne emittiert das $(round(4*pi/ Omega, sigdigits=2))-fache bezogen auf die Erdscheibe.""")# println("Der Raumwinkel beträgt $(round(Omega, sigdigits=2)) sr.")# println("Die Sonne emittiert das $(round(4 * pi / Omega, sigdigits=2))-fache bezogen auf die Erdscheibe.")
Die scheinbare Größe beträgt 17.59 Bogensekunden.
Der Raumwinkel beträgt 5.7e-9 sr.
Die Sonne emittiert das 2.2e9-fache bezogen auf die Erdscheibe.
5.2 Solarkonstante
Code
S =3.828e26/4/pi/ AU^2;Markdown.parse("""Die Leuchtkraft der Sonne verteilt sich gleichmäßig (isotrop) auf einer Kugeloberfläche. In der Entfernung von 1 AU ergibt sich daraus die Solarkonstante rechnerisch zu``S = `` $(round(S, digits=2)) W/m``^2``.""")
Die Leuchtkraft der Sonne verteilt sich gleichmäßig (isotrop) auf einer Kugeloberfläche. In der Entfernung von 1 AU ergibt sich daraus die Solarkonstante rechnerisch zu
\(S =\) 1361.17 W/m\(^2\).
Der über Satellitenmessungen bestimmte Wert ist \(S=1361\) W/m\(^{2}\).
Die Verteilung von Kontinenten und Ozeanen auf der Erdoberfläche führt zur Absorption und unvollständigen Rückstrahlung der Sonneneinstrahlung. Das Rückstrahlvermögen oder die Albedo der Erde ist 0.3, damit beträgt die Absorption 0.7.
Mit der experimentell bestimmten Solarkonstante können wir zwei Größen abschätzen:
Temperatur auf der Erdoberfläche ohne Einfluss der Atmosphäre
effektive Oberflächentemperatur eines der Sonne äquivalenten schwarzen Strahlers.
5.2.1 Temperatur auf der Erdoberfläche
Wir benutzen das Stefan-Boltzmann-Gesetz, um die Oberflächentemperatur der Erde ohne Berücksichtigung der Atmosphäre zu berechnen.
5.2.1.1 Stefan-Boltzmann-Gesetz
Das Stefan-Boltzmann-Gesetz gibt an, welche Strahlungsleistung \(P\) ein schwarzer Körper der Fläche \(A\) und der absoluten Temperatur \(T\) aussendet. Es lautet
\[
P = \sigma\, A \, T^4
\] mit der Stefan-Boltzmann-Konstanten
\[
\sigma = 5.670374419 \times 10^{-8}~W\cdot m^{-2} K^{-4}
\] Zur Lösung des Problems stellen wir eine Strahlungsbilanz auf, wonach die Sonneneinstrahlung auf der Erdoberfläche gleich der Abstrahlung in den Kosmos ist.
Mit der oben angegeben Absorption von 0.7 gilt für die Einstrahlung auf der als Kreisscheibe angenommenen Erdoberfläche
\[
P_{in} = 0.7 \, S \, \pi R_E^2
\]
Code
Markdown.parse("""Die Einstrahlung beträgt bei vollständiger Absorption dagegen$(round(S *pi* R_E^2*1e-15, digits=3)) PW.""")
Die Einstrahlung beträgt bei vollständiger Absorption dagegen 173.958 PW.
Die Einstrahlung beträgt also etwa 174 Petawatt! Die aktuell leistungsfähigsten Laser (LLNL (USA): “Nova Laser”, 2012; Osaka Univ. (Japan): “LFEX”, 2015; EU: “ELI-NP”, 2015) erreichten kurzzeitig 1.25, 2 bzw. 10 PW für 0.5, 1 bzw. < 0.01 Pikosekunden (1 Pikosekunde = 10\(^{-12}\) s), was einer Energie von 600, 2000 bzw. 10 J entspricht.
Die Abstrahlung in den Kosmos ist \[
P_{out} = \sigma 4 \pi R_E^2 T^4
\] Daraus ermitteln wir die Oberflächentemperatur eines äquivalenten schwarzen Strahlers. Sie lautet \[
T = \sqrt[4]{\frac{0.7 S}{4 \sigma}}
\]
Code
S =1361;sigma =5.670374419e-8;T = (0.7* S /4/sigma)^0.25-273.15;Markdown.parse("""Die Oberflächentemperatur auf der Erde beträgt ohne Atmosphäre T = $(round(T, digits=1)) °C.""")
Die Oberflächentemperatur auf der Erde beträgt ohne Atmosphäre T = -18.6 °C.
Somit ergibt sich für die Erde eine Temperatur von ca. -18 °C, die allein verursacht durch die Sonneneinstrahlung, jedoch ohne Berücksichtigung des Einflusses der Atmosphäre (Treibhauseffekt) auf der Erdoberfläche herrschen würde. In der Realität misst man dort eine deutlich höhere Temperatur von im Mittel ca. 14 °C. Die Differenz von 32 K wird durch den Treibhauseffekt verursacht.
5.2.2 Effektive Oberflächentemperatur der Sonne
Ebenso lässt sich mit Hilfe des Stefan-Boltzmann-Gesetzes aus den oben gegebenen Werten die effektive Oberflächentemperatur der Sonne errechnen.
Der Radius der Sonne beträgt \(R_S = 6.963 \times 10^8\) m. Ihre Leuchtkraft lässt sich über die Solarkonstante \(S\) und den Radius \(d\) der Erdumlaufbahn angeben. Es gilt \[
P_{out} = 4 \pi d^2 \, S
\] Die Fläche des angenommenen schwarzen Strahlers ist \[
A = 4 \pi R_S^2
\]
Die Temperatur auf der Sonnenoberfläche ist demnach \[
T = \sqrt[4]{\frac{P_{out}}{\sigma A}}
\]
Wir setzen ein und erhalten
Code
P_out =4*pi* AU^2* S;R_S =6.96342e8;A =4*pi* R_S^2;T = (P_out / sigma / A)^0.25;Markdown.parse("""Die effektive Temperatur der Sonne ist T = $(round(T, digits=2)) K.""")
Die effektive Temperatur der Sonne ist T = 5769.17 K.
Die Temperatur, die ein gleich großer schwarzer Strahler haben müsste, um die gleiche Strahlung abzugeben, beträgt also etwa 5770 K.